Question

已知大西北某荒漠上兩點(diǎn)相距2千米，現(xiàn)準(zhǔn)備在荒漠上圍墾出一片以為一條對(duì)角線的平行四邊形區(qū)域建農(nóng)藝園．按照規(guī)劃，圍墻總長(zhǎng)為8千米．
（1）試求四邊形另兩個(gè)頂點(diǎn)的軌跡方程；
（2）該荒漠上有一條直線型小溪剛好通過點(diǎn)，且與成角．現(xiàn)要對(duì)整條小溪進(jìn)行改造，因考慮到小溪可能被農(nóng)藝園圍進(jìn)的部分今后重新設(shè)計(jì)改造，因此對(duì)該部分暫不改造．問暫不改造的部分有多長(zhǎng)？

Answer 1

（1）方程為．（2）暫不改造的部分為千米．

（1）設(shè)四邊形的另兩頂點(diǎn)為，則由題意，得，．
，
點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓．
以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)，橢圓方程為，
則，
．
方程為．
（2）直線的方程為，設(shè)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，
由得，
，．
．
故暫不改造的部分為千米．