Question

【題目】定義在實數集上的函數f（x）=x2+ax（a為常數），g（x）= x3﹣bx+m（b為常數），若函數f（x）在x=1處的切線斜率為3，x= 是g（x）的一個極值點
（1）求a，b的值；
（2）若存在x∈[﹣4，4]使得f（x）≥g（x）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=x2+ax，f′（x）=2x+a，

若函數f（x）在x=1處的切線斜率為3，

則f′（1）=2+a=3，解得：a=1，

g（x）= x3﹣bx+m，g′（x）=x2﹣b，

若x= 是g（x）的一個極值點，

則g′（ ）=2﹣b=0，解得：b=2

（2）解：由（1）得：f（x）=x2+x，g（x）= x3﹣2x+m，

令h（x）=g（x）﹣f（x）= x3﹣2x+m﹣x2﹣x= x3﹣3x+m﹣x2

∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，

當﹣4＜x＜﹣1時，h′（x）＞0，

當﹣1＜x＜3時，h′（x）＜0，

當3＜x＜4時，h′（x）＞0，

要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，

由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，

而h（﹣1）=m+ ，h（4）=m﹣ ，

∵m+ ＞m﹣ ，

∴m+ ≤0，

即m≤﹣

【解析】（1）分別求出f（x），g（x）的導數，根據f′（1）=0，g′（ ）=0，分別求出a，b的值即可；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，轉化為求最值問題．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．