Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，左、右頂點分別為、，線段的長為4.點在橢圓上且位于第一象限，過點，分別作，，直線，交于點.

（1）若點的橫坐標為-1，求點的坐標；

（2）直線與橢圓的另一交點為，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)先求出橢圓的方程，設直線的方程為.分別表示出直線與的方程，聯立方程組，求出點的坐標,利用點的橫坐標為，求出，進而可求出點的坐標；(2 )聯立消去，整理得，求得.由，可得 ,結合即可求出的取值范圍.

（1）設直線的斜率為，，

由題意得，，

所以，，，

所以橢圓的方程為.

因為點在橢圓上，且位于第一象限，

所以，，直線的方程為.

因為，

所以，

所以直線的方程為.

聯立，解得，

即.

因為，所以，

則直線的方程為.

因為，所以.

則直線的方程為.

聯立，解得，

即.

因為點的橫坐標為-1，

所以，解得.

因為，

所以.將代入可得，

點的坐標為.

（2）設，，又直線的方程為.

聯立消去，整理得，

所以，

解得.

因為，

所以 .

因為，

所以.