Question

【題目】已知函數(shù) ， 的圖象在點 處的切線為 .
（1）求函數(shù) 的解析式；
（2）若 對任意的 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，切線的斜率 ，∴ .

∴切線方程為 ，切點坐標(biāo)為 .

∴ ，∴ ，∴ .

（2）解：由（1）知 （ ）恒成立，

∴ （ ）恒成立.令 （ ），∴ 即可

∵ ，設(shè) ，則 ∴ 在 單調(diào)遞增， ∴ .

∴ 在 上遞減，在 上遞增，

∴當(dāng) 時， 取最小值 ，∴ .

【解析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可求出切線的斜率，再根據(jù)點斜式求出直線的方程。（2）整理已知函數(shù)式構(gòu)造函數(shù) g ( x )，根據(jù)不等式的性質(zhì) 可得 k < g ( x ) min，再利用導(dǎo)函數(shù)g′(x）的性質(zhì)得出g ( x )的單調(diào)性進(jìn)而得到 g ( x ) 的最小值從而得出k的取值范圍。
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．