Question

【題目】一兒童游樂場擬建造一個“蛋筒”型游樂設施，其軸截面如圖中實線所示．ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α（F在AB的延長線上，α為銳角）．圓E與AD，BC都相切，且其半徑長為100﹣80sinα米．EO是垂直于AB的一個立柱，則當sinα的值設計為多少時，立柱EO最矮？

Answer 1

【答案】解：如圖所示，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系．
因為B（10，0），kBC=tanα，所以直線BC的方程為：y=tanα（x﹣10），即xtanα﹣y﹣10tanα=0．
設圓心E（0，t），（t＞0），由圓E與直線BC相切，得100﹣80sinα= = ，
所以EO=t= ，
令f（α）= ，α∈（0， ），則f′（α）= ，
設sinα0= ，α0∈（0， ）．列表如下：

α	（0，α0）	α0	（α0 ， ）
f′（α）	﹣	0	+
f（α）	減	極小值	增

所以當α=α0 ， 即sin 時，f（α）取最小值．
答：當sin 時，立柱EO最矮．
【解析】以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，由已知可求直線BC的方程為：xtanα﹣y﹣10tanα=0，設圓心E（0，t），（t＞0），由圓E與直線BC相切，可求EO=t= ，令f（α）= ，α∈（0， ），則f′（α）= ，設sinα0= ，α0∈（0， ）．列表可求EO的最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:．