Question

【題目】（I）已知函數f（x）=rx﹣xr+（1﹣r）（x＞0），其中r為有理數，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；
（II）試用（I）的結果證明如下命題：設a1≥0，a2≥0，b1 ， b2為正有理數，若b1+b2=1，則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；
（III）請將（II）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題．注：當α為正有理數時，有求導公式（xα）r=αxα﹣1 ．

Answer 1

【答案】（I）解：求導函數可得：f′（x）=r（1﹣xr﹣1），令f′（x）=0，解得x=1；
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上是減函數；
當x＞1時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函數
所以f（x）在x=1處取得最小值f（1）=0；
（II）解：由（I）知，x∈（0，+∞）時，有f（x）≥f（1）=0，即xr≤rx+（1﹣r）①
若a1 ， a2中有一個為0，則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；
若a1 ， a2均不為0，∵b1+b2=1，∴b2=1﹣b1 ，
∴①中令 ，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立
綜上，對a1≥0，a2≥0，b1 ， b2為正有理數，若b1+b2=1，則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；②
（III）解：（II）中的命題推廣到一般形式為：設a1≥0，a2≥0，…，an≥0，b1 ， b2 ， …，bn為正有理數，若b1+b2+…+bn=1，則a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn；③
用數學歸納法證明
（1）當n=1時，b1=1，a1≤a1 ， ③成立
（2）假設當n=k時，③成立，即a1≥0，a2≥0，…，ak≥0，b1 ， b2 ， …，bk為正有理數，若b1+b2+…+bk=1，則a1b1a2b2…akbk≤a1b1+a2b2+…akbk ．
當n=k+1時，a1≥0，a2≥0，…，ak+1≥0，b1 ， b2 ， …，bk+1為正有理數，若b1+b2+…+bk+1=1，則1﹣bk+1＞0
于是a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=（a1b1a2b2…akbk）ak+1bk+1= ak+1bk+1
∵ + +…+ =1
∴ ≤ + +…+
=
∴ ak+1bk+1≤ （1﹣bk+1）+ak+1bk+1 ，
∴a1b1a2b2…akbkak+1bk+1≤a1b1+a2b2+…akbk+ak+1bk+1 ．
∴當n=k+1時，③成立
由（1）（2）可知，對一切正整數，推廣的命題成立．
【解析】（I）求導函數，令f′（x）=0，解得x=1；確定函數在（0，1）上是減函數；在（0，1）上是增函數，從而可求f（x）的最小值；（II）由（I）知，x∈（0，+∞）時，有f（x）≥f（1）=0，即xr≤rx+（1﹣r），分類討論：若a1 ， a2中有一個為0，則a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1 ， a2均不為0， ，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立（III）（II）中的命題推廣到一般形式為：設a1≥0，a2≥0，…，an≥0，b1 ， b2 ， …，bn為正有理數，若b1+b2+…+bn=1，則a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn；
用數學歸納法證明：（1）當n=1時，b1=1，a1≤a1 ， 推廣命題成立；（2）假設當n=k時，推廣命題成立，證明當n=k+1時，利用a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=（a1b1a2b2…akbk）ak+1bk+1= ak+1bk+1 ， 結合歸納假設，即可得到結論．