Question

（本小題滿分14分）
已知函數對于任意（），都有式子成立（其中為常數）．
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）利用函數構造一個數列，方法如下：
對于給定的定義域中的，令，，…，，…
在上述構造過程中，如果（=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數列的過程繼續下去；如果不在定義域中，那么構造數列的過程就停止.
（ⅰ）如果可以用上述方法構造出一個常數列，求的取值范圍；
（ⅱ）是否存在一個實數，使得取定義域中的任一值作為，都可用上述方法構造出一個無窮數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
（ⅲ）當時，若，求數列的通項公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）令（），則，而，
故=，
∴ =（）．        ………………………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）根據題意，只需當時，方程有解，   ………………4分
亦即方程 有不等于的解．
將代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等．故方程不可能有解．
………………5分
由 △=，得 或，
即實數a的取值范圍是．      …………………………7分
（ⅱ）假設存在一個實數，使得取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列，那么根據題意可知，=在R中無解，
……………8分
亦即當時，方程無實數解．
由于不是方程的解，
所以對于任意x∈R，方程無實數解，
因此解得．
∴ 即為所求的值．        ……………………………………11分
（ⅲ）當時，，所以，．
兩邊取倒數，得，即．
所以數列{}是首項為，公差的等差數列．
故，所以，，
即數列的通項公式為． ……………………………………14分