Question

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且an+1=2an+1（n∈N*）
（Ⅰ）證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下對(duì)任意正整數(shù)n，不等式Sn+ ﹣1＞（﹣1）na恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵an+1=2an+1（n∈N*），∴an+1+1=2（an+1），

∴數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．

∴an+1=2n，解得an=2n﹣1．

解：（Ⅱ）bn= = ，

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn= +…+ ，

∴ = +…+ + ，

相減可得： = +…+ ﹣﹣ = ﹣ ，

可得：Sn=2﹣ ．

（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下對(duì)任意正整數(shù)n，不等式Sn+ ﹣1＞（﹣1）na，

化為：（﹣1）na＜1﹣ ．

n為奇數(shù)時(shí)，a＞﹣ ，可得a＞﹣ ．

n為偶數(shù)時(shí)，a＜1﹣ ．可得a ．

∵對(duì)任意正整數(shù)n，不等式Sn+ ﹣1＞（﹣1）na恒成立，

∴ ．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

【解析】（）（1）由an+1=2an+1（n∈N*），∴an+1+1=2（an+1），即可得出數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得到an的通項(xiàng)公式，（2）由（1）中an的通項(xiàng)公式表示出bn，通過錯(cuò)位相減可求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，（3）在（2）的條件下，不等式Sn+ ﹣1＞（-1）na，可化為：（﹣1）na＜1﹣ ,對(duì)a進(jìn)行分類討論，可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．