Question

【題目】如圖，△ABC為一個等腰三角形形狀的空地，腰CA的長為3（百米），底AB的長為4（百米）．現決定在空地內筑一條筆直的小路EF（寬度不計），將該空地分成一個四邊形和一個三角形，設分成的四邊形和三角形的周長相等、面積分別為S1和S2 ．
（1）若小路一端E為AC的中點，求此時小路的長度；
（2）求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為：AE=CE= AE+4＞CE+3 所以F不在BC上，

AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF

所以AE=CE AF=CB+BF 4﹣BF=BF+3 BF=

cosA= =

所以EF2=AE2+AF2﹣2AE×AF×cosA=

所以EF=

E為AC中點時，此時小路的長度為 百米

（2）解：若E、F分別在AC和AB上，

sinA=

設AE=x，AF=y，

所以S2= xysinA=

S1=S三角形ABC﹣S2=2 ﹣S2

因為x+y=3﹣x+4﹣y+3

所以x+y=5

= ﹣1

xy≤

當且僅當x=y= 時取等號

所以 =

當且僅當x=y= 時取等號

最小值是

若E、F分別在AC和BC上，

sinC=

設CE=x，CF=y

同上可得 ≥

當且僅當x=y= 取等號

若E、F分別在AC和BC上，最小值是

【解析】（1）根據題意可知F不在BC上，根據余弦定理求出cosA的值，然后根據余弦定理求出EF的長即可；（2）若E、F分別在AC和AB上，設AE=x，AF=y，然后利用三角形的面積公式求出S2和S1=S三角形ABC﹣S2=，再根據基本不等式求出比值的最值即可，若E、F分別在AC和BC上，設CE=x，CF=y，同上根據基本不等式求出比值的最值即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．