Question

已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過點(diǎn)作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)、，在線段上去異于點(diǎn)、的點(diǎn)，滿足，證明點(diǎn)恒在一條定直線上.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）根據(jù)雙曲線的離心率列方程求出實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用條件確定與、之間的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上這一條件，以及斜率公式來證明直線與直線的斜率之積是定值；（3）證法一是先設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，結(jié)合（2）得到，，引入?yún)��?shù)，利用轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的條件，利用坐標(biāo)運(yùn)算得到點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，進(jìn)而證明點(diǎn)恒在定直線上；證法二是設(shè)直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，將條件進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達(dá)定理化簡為，最后利用點(diǎn)在直線上得到，從而消去得到
，進(jìn)而證明點(diǎn)恒在定直線上.
試題解析：（1）根據(jù)雙曲線的定義可得雙曲線的離心率為，由于，解得，
故雙曲線的方程為；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知點(diǎn)，
則，，
，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故直線的斜率，直線的斜率為，
因此直線與直線的斜率之積為，
由于點(diǎn)在雙曲線上，所以，所以，
于是有
（定值）；
（3）證法一：設(shè)點(diǎn) 且過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)、，由（2）知，，，
設(shè)，則，即，
整理得，
由①③，②④得，，
將，，代入⑥得，⑦，
將⑦代入⑤得，即點(diǎn)恒在定直線上；
證法二：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由，
消去得，
因?yàn)橹本�與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)、，
則有，
設(shè)點(diǎn)，由，得，
整理得，
將②③代入上式得，
整理得，④
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，⑤
聯(lián)立④⑤消去得，所以點(diǎn)恒在定直線.