Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過點的直線l與橢圓C交于，兩點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）將點代入橢圓方程，結(jié)合離心率公式，聯(lián)立方程組，求解即可得出橢圓的方程；

討論直線l的斜率為0和不為0兩種情況，當(dāng)直線l的斜率為0時，，得出；

當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理得出，的值，進(jìn)而得出，換元令，得出，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍.

解：（1）因為橢圓C經(jīng)過點，所以，①

因為橢圓C的離心率為，所以，所以.②

由①②得，.

故橢圓C的方程為.

（2）①當(dāng)直線l的斜率為0時，，所以.

②當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為.

聯(lián)立，整理得

則，

設(shè)，則，從而

因為，所以，即

綜上的取值范圍是.