Question

【題目】設，或，，．

從以下兩個命題中任選一個進行證明：

當時函數恰有一個零點；

當時函數恰有一個零點；

如圖所示當時如，與的圖象“好像”只有一個交點，但實際上這兩個函數有兩個交點，請證明：當時，與兩個交點．

若方程恰有4個實數根，請結合的研究，指出實數k的取值范圍不用證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）.

【解析】

由函數的零點及方程的根的關系得：當時，令，解得：，即函數恰有一個零點，且此零點為2，再用判別式判斷函數的零點個數

由二次方程區間根的問題得：，由韋達定理得：，，所以，．

結合的研究，實數k的取值范圍為：，得解

當時，，

令，解得：，

即函數恰有一個零點，且此零點為2，

證明：當時，，

令，解得：，

所以函數恰有一個零點，且此零點為，

，

所以，

又，

所以，

所以方程，有兩個不等實數根，記為，，

由韋達定理得：，，所以，，

即，，

所以當時，與兩個交點．

結合的研究，實數k的取值范圍為：，

故答案為：．