Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點分別為F₁，F₂，P為橢圓C上一點，若△F₁F₂P為等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  2

  -1
• C、

  2

  -1或

  2

  2

• D、

  2

  4

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求橢圓的離心率，即求參數a，c的關系，本題中給出了三角形PF₁F₂為等腰三角形這一條件，由相關圖形知，角P或F₁或角F₂為直角，不妨令角F₂為直角，
則有PF₂=F₁F₂，求出兩線段的長度，代入此方程，整理即可得到所求的離心率．

解答：由題意，角P或F₁或角F₂為直角，
當P為直角時，b=c，
∴a²=b²+c²=2c²
∴離心率e=

c

a

=

2

2

；
當角F₁或角F₂為直角，
不妨令角F₂為直角，
此時P（c，y），代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1得y=±

b2

a

，
又三角形PF₁F₂為等腰三角形得PF₂=F₁F₂，
故得PF₂═2c，即a²-c²=2ac，
解得

c

a

=

2

-1，
即橢圓C的離心率為

2

-1．
故選C．

點評：本題考查橢圓的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．