Question

【題目】已知橢圓的兩焦點分別為，其短半軸長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設不經過點的直線與橢圓相交于兩點.若直線與的斜率之和為，求實數的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)3.

【解析】

（1）根據題干條件得到a,b,c進而得到橢圓方程；（2）聯立直線和橢圓方程得到二次方程，kHM+kHN，代入韋達定理,整理可得到結果.

（1）橢圓的兩焦點分別為，c=, 短半軸長為,b=1, ,故得到曲線C的方程為：；

（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），

由，消去y得，

37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，

由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，

可得﹣，

又直線y＝2x+t不經過點H（0，1），

且直線HM與HN的斜率存在，

∴t≠±1，

又，，

∴kHM+kHN＝，

解得t＝3，

故t的值為3.