Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，若在雙曲線的右支上存在一點P滿足：①△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形；②直線PF₁與圓x2+y2=

1

4

a2相切，則此雙曲線的離心率為______．

Answer 1

設(shè)PF₁與圓相切于點M，過F₂做F₂H垂直于PF₁于H，則H為PF₁的中點，
所以|F₁M|=

1

4

|PF₁|，
因為△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，
所以|PF₂|=|F₁F₂|=2c，再由橢圓的定義可得|PF₁ |=2a-|PF₂|=2a-2c，
又因為在直角△F₁MO中，|F₁M|²=|F₁O|²-

1

4

a²=c²-

1

4

a²，
所以c²-

1

4

a²=

1

16

（2a-2c）²，
所以2a²-2ac-3c²=0，
所以3e²+2e-2=0，
因為e＞1，所以e=

7 +1

3

．
故答案為：

7 +1

3

．