Question

【題目】知函數，.

（1）求的單調區間；

（2）證明：存在，使得方程在上有唯一解.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

（1）求出函數f（x）的定義域，對函數f（x）求導得到，分與,得到導函數在各區間段內的符號,得到函數f（x）的單調區間；

（2）構造，求導分析的單調性，找到a<1時，在上恒成立，在上遞增，而h(，,由函數零點存在定理得到存在，使得方程在上有唯一解，即證得結論.

（1）函數f（x）的定義域為，

因為，

令，

則，即，

則在上恒成立，

當或，由有或，

由有，

綜上，當時，的遞增區間是，

當或時，的遞增區間是，遞減區間是；

（2）令，

當時，則

，

因為，故當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，即當時，有最小值，又h（1）=1-2a，

當a<1時，h（1）0，即在上恒成立，

又a<1時,，

取x=,則即，

又在上遞增，而h(，由函數零點存在定理知在上存在唯一零點，

所以當a<1時即存在，使得方程在上有唯一解，即方程在上有唯一解.