Question

【題目】已知函數(shù)，其中，且 .

（1）當(dāng)（ 為自然對數(shù)的底）時，討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng) 時，若函數(shù)存在最大值，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）求導(dǎo)可得，分類討論:

①當(dāng)，在上是減函數(shù)；

②當(dāng)時，在上遞減，在上遞增.

（2）當(dāng)，.據(jù)此可知：

①當(dāng)時，無極大值，也無最大值；

②當(dāng)，的極大值為，.其中即，令，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)考查其單調(diào)性討論可得的最小值為，此時.

詳解：（1）由題，，

①當(dāng)，當(dāng)，在上是減函數(shù)；

②當(dāng)，當(dāng)，，在上是減函數(shù)；

當(dāng)，，在上是增函數(shù).

即當(dāng)時，在上個遞減；

當(dāng)時，在上遞減，在上遞增.

（2）當(dāng)，，.

①當(dāng)時，，，則，在上為增函數(shù)，無極大值，也無最大值；

②當(dāng)，設(shè)方程的根為，得.

即，

所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

則的極大值為，.

令，令，.

.

當(dāng)時；當(dāng)時，所以為極小值也是最小值點.

且，即的最小值為，此時.