Question

【題目】已知函數f（x）=x（lnx﹣2ax）有兩個極值點，則實數a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞， ）
B.（0， ）
C.（0， ）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：f（x）=xlnx﹣2ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣4ax． 令g（x）=lnx+1﹣4ax，
∵函數f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點，
則g（x）=0在區間（0，+∞）上有兩個實數根．
g′（x）= ﹣4a= ，
當a≤0時，g′（x）＞0，則函數g（x）在區間（0，+∞）單調遞增，
因此g（x）=0在區間（0，+∞）上不可能有兩個實數根，應舍去．
當a＞0時，令g′（x）=0，解得x= ．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜ ，此時函數g（x）單調遞增；
令g′（x）＜0，解得x＞ ，此時函數g（x）單調遞減．
∴當x= 時，函數g（x）取得極大值．
當x趨近于0與x趨近于+∞時，g（x）→﹣∞，
要使g（x）=0在區間（0，+∞）上有兩個實數根，
只需g（ ）=ln ＞0，解得0＜a＜ ．
∴實數a的取值范圍是（0， ）．
故選：C．
【考點精析】關于本題考查的函數的極值與導數，需要了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．