Question

對于函數y=f（x）（x∈R），給出下列命題：
（1）在同一直角坐標系中，函數y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關于直線x=0對稱；
（2）若f（1-x）=f（x-1），則函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（3）若f（1+x）=f（x-1），則函數y=f（x）是周期函數；
（4）若f（1-x）=-f（x-1），則函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱．
其中所有正確命題的序號是

（3）（4）

．

Answer 1

分析：（1）函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象可以由f（x）與y=f（-x）的圖象向右移了一個單位而得到，從而函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱；
（2）若f（1-x）=f（x-1），令t=1-x，有f（t）=f（-t），則函數y=f（x）的圖象關于直線x=0對稱；
（3）若f（1+x）=f（x-1），則f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x），函數y=f（x）是以2為周期的周期函數；
（4）若f（1-x）=-f（x-1），則可得f（-t）=-f（t），即函數f（x）為奇函數，從而可得函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱．

解答：解：（1）：∵f（x）與y=f（-x）的圖象關于直線x=0對稱，函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象可以由f（x）與y=f（-x）的圖象向右移了一個單位而得到，從而可得函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱；故（1）錯誤
（2）若f（1-x）=f（x-1），令t=1-x，有f（t）=f（-t），則函數y=f（x）的圖象關于直線x=0對稱；故（2）錯誤
（3）若f（1+x）=f（x-1），則f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x），函數y=f（x）是以2為周期的周期函數；故（3）正確
（4）若f（1-x）=-f（x-1），則可得f（-t）=-f（t），即函數f（x）為奇函數，從而可得函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱．故（4）正確
故答案為（3）（4）

點評：本題考點是兩個函數圖象的對稱性，考查根據已知函數圖象的性質來判斷與之相關函數性質的能力，即圖象變換的能力，規律性固定，學習時要注意總結．