Question

已知定義在區間[-3，3]上的函數y=f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，對于函數y=f（x）的圖象上任意兩點（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））都有（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＜0．若實數a，b滿足f（a²-2a）+f（2b-b²）≤0，則點（a，b）所在區域的面積為（　　）

• A、8
• B、4
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：根據條件確定函數的奇偶性和單調性，將不等式進行轉化，然后利用線性規劃的知識作出不等式組對應的平面區域，即可得到結論．

解答：解：∵函數y=f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），即函數f（x）是奇函數．
由（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
則函數f（x）在區間[-3，3]上是減函數．
則不等式f（a²-2a）+f（2b-b²）≤0等價為f（a²-2a）≤-f（2b-b²）=f（-2b+b²），
即

-3≤a2-2a≤3 -3≤b2-2b≤3 a2-2a≥b2-2b

，
∴

-1≤a≤3 -1≤b≤3 (a-b)(a+b-2)≥0

，
作出不等式組對應的平面區域如圖：
則A（3，3），B（3，-1），E（1，1），
則對應區域的面積為2×

1

2

×4×2=8，
故選：A．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，以及不等式的轉化，利用條件將不等式轉化為二元一次不等式組是解決本題的關鍵，綜合性較強．