Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣lnx．
（1）若f（x）在x=3處取得極值，求實數a的值；
（2）若f（x）≥5﹣3x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）定義域為（0，+∞）， ．

由f'（3）=0，得a=﹣3．

當a=﹣3時，由f'（x）＞0，得0＜x＜3，由f'（x）＜0，得x＞3，

∴f（x）在（0，3）上單調遞增，在（3，+∞）上單調遞減，

即f（x）在x=3處取得極大值，符合題意，則實數a=﹣3；

（2）解：設 ，則當x＞0時，g（x）≥0恒成立，由g（1）=a﹣2≥0，得a≥2， ，

方程g'（x）=0有一負根x1和一正根x2，x1＜0＜x2．其中x1不在函數定義域內，

∴g（x）在（0，x2）上是減函數，在（x2，+∞）上是增函數，即g（x）在定義域上的最小值為g（x2），

依題意只需g（x2）≥0，即 ，

又∵ ，

∴ ，∵ ，∴ ，

∴g（x2）=3x2﹣1﹣lnx2+3x2﹣5≥0，即6x2﹣6﹣lnx2≥0．

令h（x）=6x﹣6﹣lnx，則 ，

當 時，h′（x）＞0，

∴h（x）是增函數．

又∵h（1）=0，

∴6x2﹣6﹣lnx2≥0的解集為[1，+∞），即x2≥1，

∴ ，即a的取值范圍是[2，+∞）

【解析】（1）先求函數的定義域，然后求出導函數，根據f（x）在x=3處取得極值，則f′（3）=0，求出a的值，然后驗證即可；（2）設 ，然后利用導數研究該函數的最小值，使得最小值大于等于0，從而可求出a的取值范圍．
【考點精析】掌握函數的極值是解答本題的根本，需要知道極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．