Question

（2011•江蘇模擬）設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，f（x）=x²，若對任意的x∈[t-2，t]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實數t的取值范圍是

(-∞，-

2

]

．

Answer 1

分析：由當x＜0時，f（x）=x²，函數是奇函數，可得當x≥0時，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調遞減函數，且滿足2f（x）=f（

2

x），再根據不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[t-2，t]恒成立，可得x+t≤

2

x在[t-2，t]恒成立，即可得出答案．

解答：解：當x＜0時，f（x）=x²
∵函數是奇函數
∴當x≥0時，f（x）=-x²
∴f（x）=

-x2，x≥0 x2，x＜0

，
∴f（x）在R上是單調遞減函數，
且滿足2f（x）=f（

2

x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[t-2，t]恒成立，
∴x+t≤

2

x在[t-2，t]恒成立，
即：x≥（1+

2

）t在 x∈[t-2，t]恒成立，
∴t-2≥（1+

2

）t
解得：t≤-

2

，
故答案為：(-∞，-

2

]．

點評：本題考查了函數恒成立問題及函數的奇偶性，難度適中，關鍵是掌握函數的單調性與奇偶性．