Question

設a，b為實數，我們稱（a，b）為有序實數對．類似地，設A，B，C為集合，我們稱（A，B，C）為有序三元組．如果集合A，B，C滿足|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，且A∩B∩C=∅，則我們稱有序三元組（A，B，C）為最小相交（|S|表示集合S中的元素的個數）．
（Ⅰ）請寫出一個最小相交的有序三元組，并說明理由；
（Ⅱ）由集合{1，2，3，4，5，6}的子集構成的所有有序三元組中，令N為最小相交的有序三元組的個數，求N的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設A={1，2}，B={2，3}，C={1，3}，則滿足題意，所以（A，B，C）是一個最小相交的有序三元組．
（Ⅱ）令S={1，2，3，4，5，6}，由題意知，必存在兩兩不同的x，y，z∈S，使得A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，
而要確定x，y，z共有6×5×4種方法；對S中剩下的3個元素，每個元素有4種分配方式，即可得到最小相交的有序三元組（A，B，C）的個數N．

解答：解：（Ⅰ）設A={1，2}，B={2，3}，C={1，3}，
則A∩B={2}，B∩C={3}，C∩A={1}，A∩B∩C=∅，且|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1．
所以（A，B，C）是一個最小相交的有序三元組．                     …（4分）
（Ⅱ）令S={1，2，3，4，5，6}，如果（A，B，C）是由S的子集構成的最小相交的有序三元組，
則存在兩兩不同的x，y，z∈S，使得A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，
（如圖），要確定x，y，z共有6×5×4種方法；

對S中剩下的3個元素，每個元素有4種分配方式，
即它屬于集合A，B，C中的某一個或不屬于任何一個，則有4³種確定方法．
所以最小相交的有序三元組（A，B，C）的個數N=6×5×4×4³=7680．…（10分）

點評：此題考查集合的新定義，在新定義下計算集合間的交、并、補運算，這是高考中的常考內容，要認真掌握，并確保得分．