Question

求證：關于x的方程ax³+bx²+cx+d=0有一根為1的充要條件是a+b=-（c+d）．

Answer 1

【答案】分析：要證明關于x的方程ax³+bx²+cx+d=0有一根為1的充要條件是a+b=-（c+d）．我們要分充分性和必要性兩部分證明，充分性證明，即假設a+b=-（c+d）成立，推理后得到方程ax³+bx²+cx+d=0有一根為1，必要性證明則假設方程ax³+bx²+cx+d=0有一根為1推理得到a+b=-（c+d），兩們部分均成立才能得到方程ax³+bx²+cx+d=0有一根為1的充要條件是a+b=-（c+d）．
解答：證明：充分性：
∵a+b=-（c+d），
∴a+b+c+d=0，
∴a×1³+b×1²+c×1+d=0成立，
故x=1是方程ax³+bx²+cx+d=0的一個根．
必要性：關于x的方程ax³+bx²+cx+d=0有一個根為1，
∴a+b+c+d=0，
∴a+b=-（c+d）成立．
故方程ax³+bx²+cx+d=0有一根為1的充要條件是a+b=-（c+d）．
點評：本題考查的是充要條件的證明，有關充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結論，由“條件”?“結論”是證明命題的充分性，由“結論”“條件”是證明命題的必要性．證明要分兩個環節：一是充分性；二是必要性．