Question

12、求證：關于x的方程ax²+bx+c=0有一根為1的充分必要條件是a+b+c=0．

Answer 1

分析：我們先假設，x=1是方程ax²+bx+c=0的根再證明a+b+c=0成立，即命題的必要性，再假設a+b+c=0再證明x=1時，方程ax²+bx+c=0成立，即充分性，如果兩者均成立，即可得到關于x的方程ax²+bx+c=0有一根為1的充分必要條件是a+b+c=0．

解答：證明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax²+bx+c=0的根，則a+b+c=0”．
∵x=1是方程的根，將x=1代入方程，得a•1²+b•1+c=0，即a+b+c=0．
（2）充分性，即“若a+b+c=0，則x=1是方程ax²+bx+c=0的根”．
把x=1代入方程的左邊，得a•1²+b•1+c=a+b+c．
∵a+b+c=0，
∴x=1是方程的根．
綜合（1）（2）知命題成立．

點評：本題考查的知識點是充要條件的證明，本類問題的處理一共分為三步：①證明必要性，②證明充分性，③得到結論．