Question

【題目】(2016·貴陽第二次聯考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(a＋b，sin A－sin C)，向量n＝(c，sin A－sin B)，且m∥n.

(1)求角B的大小；

(2)設BC的中點為D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此時△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

試題分析：由條件利用兩個向量共線的性質，正弦定理，余弦定理可得的值，從而求得的值；

設，則在中，可知，利用正弦定理求得的值，可得的值，再利用正弦函數的定義域和值域求得的最大值及此時的面積。

解析：(1)因為m∥n，

所以(a＋b)(sin A－sin B)－c(sin A－sin C)＝0.

由正弦定理，得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac.

由余弦定理，得cosB＝＝＝.

因為B∈(0，π)，所以B＝.

(2)設∠BAD＝θ，則在△BAD中，

由B＝，可知θ∈(0，)．

由正弦定理及AD＝，得＝＝＝2，

所以BD＝2sin θ，AB＝2sin(－θ)＝cosθ＋sin θ.

所以a＝2BD＝4sin θ，c＝AB＝cosθ＋sin θ.

從而a＋2c＝2cos θ＋6sin θ＝4sin(θ＋)．

由θ∈(0，)，可知θ＋∈(，)，

所以當θ＋＝，即θ＝時，a＋2c取得最大值4.

此時a＝2，c＝，

所以S△ABC＝acsinB＝.