Question

【題目】設(shè)函數(shù)

(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;

(2)當(dāng)時(shí),記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請求出的最小值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】試題分析：

(1) ，討論可得函數(shù)的單調(diào)性；

(2) ，判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出最值,則易得結(jié)論.

試題解析：

(1

當(dāng)時(shí),由,解得;

當(dāng)時(shí),由,解得;

當(dāng)時(shí),由,解得;

當(dāng)時(shí),由,解得;

綜上所述,當(dāng)時(shí), 的單調(diào)遞增區(qū)間為;

當(dāng)時(shí), 的單調(diào)遞增區(qū)間為;

當(dāng)時(shí), 的單調(diào)遞增區(qū)間為;

(2)方法一:當(dāng)時(shí), ,

在單調(diào)遞增,

,

所以存在唯一實(shí)數(shù),使得,即,

=

記函數(shù),則,

在上單調(diào)遞增,

所以,即.

,且為整數(shù),得,

所以存在整數(shù)滿足題意,且的最小值為0.

方法二:當(dāng)時(shí), ,

由得,當(dāng)時(shí),不等式有解,

下面證明:當(dāng)時(shí),不等式恒成立,

即證恒成立.

顯然,當(dāng)時(shí),不等式恒成立.

只需證明當(dāng)時(shí), 恒成立.

即證明,令,

,由,得.

當(dāng);當(dāng);

= ,

當(dāng)時(shí); 恒成立.

綜上所述,存在整數(shù)滿足題意,且的最小值為0.