Question

我們把平面直角坐標系中，函數y=f（x），x∈D上的點P（x，y），滿足x∈N^*，y∈N^*的點稱為函數y=f（x）的“正格點”．
（1）請你選取一個m的值，使對函數f（x）=sinmx，x∈R的圖象上有正格點，并寫出函數的一個正格點坐標
（2）若函數f（x）=sinmx，x∈R，m∈（1，2），與函數g（x）=lgx的圖象有正格點交點，求m的值，并寫出兩個函數圖象的所有交點個數．
（3）對于（2）中的m值，函數f（x）=sinx，x∈[0，

5

9

]時，不等式log_ax＞sinmx恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）取m=

π

2

，可求相應正格點坐標；
（2）作出兩個函數圖象，利用圖象可知正格點交點只有一個點為（10，1），從而有2kπ+

π

2

=10m，m=

4k+1

20

π，(k∈z)，m∈(1，2)，所以m=

9π

20

，故可解；
（3）利用（2）的圖象，分a＞1、0＜a＜1進行討論．

解答：解：（1）若取m=

π

2

時，
正格點坐標（1，1），（5，1）（9，1）等（答案不唯一）…（2分）
（2）作出兩個函數圖象，可知函數f（x）=sinmx，x∈R，與函數g（x）=lgx的圖象有正格點交點只有一個點為（10，1）（4分）
∴2kπ+

π

2

=10m，m=

4k+1

20

π，(k∈z)，m∈(1，2)，
∴m=

9π

20

．…（6分）
根據圖象可知：兩個函數圖象的所有交點個數為5個．（注意：最后兩個點非常接近，幾乎粘合在一起．）…（7分）
（3）由（2）知f(x)=sin

9π

20

x，x∈[0，

5

9

]，
∴①當a＞1時，不等式log_ax＞sinmx不能成立…（8分）
②當0＜a＜1時，由圖（2）可知loga

5

9

＞sin

π

4

=

2

2

，∴(

5

9

)

2

＜a＜1…（10分）

點評：本題考查新定義，考查數形結合的思想，正確理解新定義時關鍵．