Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，.

（1）當時，試在棱上確定一個點，使得平面，并求出此時的值；

（2）當時，若平面平面，求此時棱的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)當時，連接，交于點，由平行可以證得，結合線面平行的判定定理在棱上確定一個點

(2)取上一點得，連接，構造四邊形為正方形，作平面，由證得等邊三角形繼而得點為正方形對角線的交點，建立空間坐標系，求出兩個面的法向量，計算出結果

（1）在棱上取點，使得，

連接，交于點，

因為，所以，所以，

所以，

因為平面，平面，

所以平面；

（2）取上一點得，連接，則為正方形．

過作平面，垂足為.連接，，，，

，，

所以和都是等邊三角形，

因此，

所以，

即點為正方形對角線的交點，

以為坐標原點，

分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，

由于棱的長為，則，

，，，，

設平面的法向量為，

則，取，

同理平面的法向量，

由，解得，

即的長為.