Question

三棱錐,底面為邊長為的正三角形，平面平面，,為上一點，，為底面三角形中心.

（Ⅰ）求證∥面；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）設為中點，求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）先證∥ （Ⅱ）先證平面 （Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）連結交于點，連結.
為正三角形的中心，∴,
且為中點.又， ∴∥,                  
平面，平面
∴∥面．              
（Ⅱ）,且為中點, ∴,
又平面平面，
∴平面,            
由（Ⅰ）知，∥，
∴平面,∴                  
連結,則,又,
∴平面,∴．
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，兩兩互相垂直，且為中點，所以分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖

，則
∴
設平面的法向量為，則，
令，則．                              
由（Ⅱ）知平面,∴為平面的法向量，
∴，
由圖可知，二面角的余弦值為 ． 
點評：本題考查直線與平面的平行的判斷，在與平面垂直的性質定理的應用，二面角的求法，考查空間想象能力與計算能力，以及邏輯推理能力．