Question

某公司生產的A種產品，它的成本是2元，售價是3元，年銷售量為100萬件．為獲得更好的效益，公司準備拿出一定的資金做廣告．根據經驗，每年投入的廣告費是x（單位：十萬元）時，產品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數，它們的關系如表：

x（十萬元）	0	1	2	…
y	1	1.5	1.8	…

（Ⅰ）求y與x之間的函數關系式；
（Ⅱ）如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費，試寫出年利潤S（十萬元）與廣告費x（十萬元）的函數關系式；
（Ⅲ）如果投入的年廣告費為x，x∈[10，30]萬元，問廣告費在什么范圍內，公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大？

Answer 1

分析：（I）二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，利用表格數據，即可求出y與x之間的函數關系式；
（Ⅱ）根據利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費，可得結論；
（III）利用配方法，可求最值．

解答：解：（I）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c．
由關系表，得

c=1 a+b+c=1.5 4a+2b+c=1.8

解得

a=- 1 10 b= 3 5 c=1

∴函數的解析式為y=-

1

10

x²+

3

5

x+1．
（II）根據題意，得S=10y（3-2）-x=-x²+5x+10
（III）S=-x2+5x+10=-(x-

5

2

)2+

65

4

∵1≤x≤3，∴當1≤x≤2.5時，S隨x的增大而增大．
故當年廣告費為10～25萬元之間，公司獲得的年利潤隨廣告費的增大而增大

點評：本題考查函數模型的建立，考查配方法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．