Question

【題目】已知直線與雙曲線；

（1）當(dāng)為何值時，直線與雙曲線有一個交點；

（2）直線與雙曲線交于、兩點且以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求值。

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)或時，直線與雙曲線有一個交點（2）

【解析】

（1）根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系中直線與雙曲線有一個交點的情況，討論直線與雙曲線的漸近線平行與不平行，解出即可得到答案。

（2）聯(lián)立直線與雙曲線可得到，，直線與雙曲線交于、兩點且以為直徑的圓過坐標(biāo)原點等價于，即，代入即可解出答案。

（1）直線過定點，雙曲線漸近線方程為，

①當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，只有一個交點，此時；

②當(dāng)時，聯(lián)立與得：，

若直線與雙曲線只有一個交點，則，解得，

所以，當(dāng)或時，直線與雙曲線有一個交點；

（2）設(shè)點，，

聯(lián)立與得：，

所以，，

因為以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，所以，

所以，

解得.滿足判別式大于0