Question

【題目】設,函數,是函數的導函數, 是自然對數的底數.

(1)當時,求導函數的最小值;

(2)若不等式對任意恒成立,求實數的最大值;

(3)若函數存在極大值與極小值，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】分析：（1）先求導數，再求導函數的導數為，求零點，列表分析導函數單調性變化規律，進而確定導函數最小值取法，（2）先變量分離化簡不等式，再利用導數研究單調性，根據單調性確定其最小值，即得實數的取值范圍，進而得其最大值;（3）函數存在極大值與極小值，即存在兩個零點，且在零點的兩側異號.先確定導函數不單調且最小值小于零，即得，再證明時有且僅有兩個零點.

詳解：解：

（1）當時，記

則，由得.

當時，，單調遞減

當時，，單調遞增

所以當時，

所以

（2）由得，即

因為，所以.

記，則

記，則

因為，所以且不恒為0

所以時，單調遞增，

當時，，所以

所以在上單調遞增，

因為對恒成立，

所以，即

所以實數的最大值為

（3）記，

因為存在極大值與極小值，

所以，即存在兩個零點，且在零點的兩側異號.

①當時，，單調遞增，

此時不存在兩個零點；

②當時，由，得

當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

所以

所以存在兩個零點的必要條件為： ，即

由時，

(ⅰ)記，則

所以當時，單調遞減，

當時，，所以.

所以在上，有且只有一個零點.

又在上單調，

所以在上有且只有一個零點，記為，

由在內單調遞減，易得當時，函數存在極大值

（ⅱ）記，則

所以時，，所以

由（1）知時，有

所以在上單調遞增，所以時,

因為且，的圖像在單調且不間斷，

所以在上，有且只有一個零點.

又在上單調

所以在上有且只有一個零點，記為，

由在內單調遞增，易得當時，函數存在極小值

綜上，實數的取值范圍為.