Question

【題目】已知圓 : ，直線 ： ．
（1）設點 是直線 上的一動點，過 點作圓 的兩條切線，切點分別為 ，求四邊形 的面積的最小值；
（2）過 作直線 的垂線交圓 于 點， 為 關于 軸的對稱點，若 是圓 上異于 的兩個不同點，且滿足： ，試證明直線 的斜率為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設四邊形 的面積為 ， ，
，所以，當 最小時， 就最小，
，所以：
（2）解：直線 的方程為： ，代入 ，且 在第一象限，得 則 ．設 ， ，
， 設直線 的斜率為 ，則 斜率為 ， ， ，
聯立 消 得： ， ，得 ，
同理 ， ，
所以，直線 的斜率為定值1．
【解析】(1)首先求出四邊形的面積，結合面積以及勾股定理公式得出當 | O P | 最小時， | A P | 就最小，，由題意可知最小距離即為原點到直線l的距離，求出該值即為四邊形面積的最小值。(2)首先根據題意由角的相等關系得出直線DM的斜率，再由點斜式求出直線的方程，聯立直線與圓的方程消元得到關于x的一元二次方程，結合韋達定理求出xMx1的值，因為xM的值為1進而求出x1的代數式，同理得到x2的代數式，故整理可得直線CD的斜率從而求出其值為1即可。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線的斜率的相關知識，掌握一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα．