Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點．求證：
（1）BD₁∥平面EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB₁C．

Answer 1

證明：（1）連接BD，交AC于O．連接EO，BD₁．（2分）
因為E為DD₁的中點，所以BD₁∥OE．（5分）
又OE?平面EAC，BD₁?平面EAC，
所以BD₁∥平面EAC；（7分）
（2）∵BB₁⊥AC，BD⊥AC．BB₁∩BD=B，BB₁、BD在面BB₁D₁D 內
∴AC⊥平面BB₁D₁D
又BD₁?平面BB₁D₁D∴BD₁⊥AC．（10分）
同理BD₁⊥AB₁，∴BD₁⊥平面AB₁C．（12分）
由（1）得BD₁∥OE，∴EO⊥平面AB₁C．
又EO?平面EAC，∴平面EAC⊥平面AB₁C．（14分）