Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ ．
（1）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內的單調性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為 ，求a的值；
（3）若f（x）＞x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=lnx﹣ ，

∴f（x）的定義域為（0，+∞）， ，

∵a＞0，∴f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增

（2）解：由（1），當a≥0時，f（x）在[1，e]上單調遞增，

∴f（x）min=f（1）=﹣a= ，

∴a=﹣ ，不舍題意，舍；

當﹣e＜a＜0時，f（x）在[1，﹣a]上單調遞減，在[﹣a，e]上單調遞增，

∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1= ，解得a=﹣ ；

當a＜﹣e時，f（x）在[1，e]上單調遞增，

∴f（x）min=f（1）=﹣a= ，解得a=﹣ ，不合題意，舍；

綜上所述，a=﹣

（3）解：∵ ，∴a＞xlnx﹣x3，

令g（x）=xlnx﹣x3，則g′（x）=lnx+1﹣3x2， ，

當x＞1時，g'（x）＜0，∴g′（x）在（1，+∞）上單調遞減，

∴g′（x）＜g′（1）=2＜0，

∴g（x）在（1，+∞）上單調遞減，

∴g（x）＜g（1）=﹣1．

∴a≥﹣1．

∴f（x）＞x2在（1，+∞）上恒成立，a的取值范圍是[﹣1，+∞）

【解析】（1）f（x）的定義域為（0，+∞）， ，由此利用導數性質能求出f（x）在（0，+∞）上單調遞增．（2）由（1）根據a的取值范圍分類討論，由此利用導數性質能求出a的值．（3）由 ，得a＞xlnx﹣x3 ， 令g（x）=xlnx﹣x3 ， 由此利用導數性質能求出a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．