Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓的離心率. 直線（）與曲線交于不同的兩點,以線段為直徑作圓,圓心為．
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若圓與軸相交于不同的兩點，求的面積的最大值.

Answer 1

（1）解：∵橢圓的離心率,
∴.                         …… 2分
解得.
∴ 橢圓的方程為．        …… 4分
（2）解法1：依題意，圓心為．
由 得.
∴ 圓的半徑為．                 …… 6分
∵ 圓與軸相交于不同的兩點，且圓心到軸的距離，
∴ ，即．                 
∴ 弦長．  …… 8分
∴的面積                …… 9分


.                        …… 12分
當且僅當，即時，等號成立.
∴ 的面積的最大值為．              …… 14分
解法2：依題意，圓心為．
由 得.
∴ 圓的半徑為．                    …… 6分
∴ 圓的方程為．
∵ 圓與軸相交于不同的兩點，且圓心到軸的距離，
∴ ，即．
在圓的方程中，令，得，
∴ 弦長．                           …… 8分
∴的面積                     …… 9分       


.                            ……12分
當且僅當，即時，等號成立.
∴ 的面積的最大值為．               …… 14分

略