Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F₁，F₂，離心率為，且過點(2，)．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)M，N，P，Q是橢圓C上的四個不同的點，兩條都不和x軸垂直的直線MN和PQ分別過點F₁，F₂，且這兩條直線互相垂直，求證：為定值．

Answer 1

（1）＝1（2）

(1)由已知，e＝＝，所以＝＝1－e²＝，所以a²＝2b².
所以C：＝1，即x²＋2y²＝2b².
因為橢圓C過點(2，)，代入橢圓方程得b²＝4，所以a²＝8.
所以橢圓C的標準方程為＝1.
(2)證明：由(1)知橢圓的焦點坐標為F₁(－2，0)，F₂(2，0)．
根據題意，可設直線MN的方程為y＝k(x＋2)，
由于直線MN與直線PQ互相垂直，則直線PQ的方程為y＝－(x－2)．
設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．
由方程組消去y得(2k²＋1)x²＋8k²x＋8k²－8＝0.
則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
所以|MN|＝＝.同理可得|PQ|＝.
所以