Question

【題目】已知函數f（x）=x3+x2f'（1）．
（1）求f'（1）和函數x的極值；
（2）若關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，求實數a的取值范圍；
（3）直線l為曲線y=f（x）的切線，且經過原點，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=x3+x2f'（1），求導f′（x）=3x2+2f'（1）x，

則f′（1）=3+2f'（1），解得：f′（1）=﹣3，

∴f（x）=x3﹣3x2，f′（x）=3x（x﹣2），

令f′（x）=0，解得：x=0，x=2，

由x，f′（x），f（x）變化，

x	（﹣∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↑	極大值0	↓	極小值﹣4	↑

則當x=0，f（x）取極大值0，當x=2時，取極小值﹣4

（2）解：由題意可知：y=a與f（x）有三個不同的交點，

由函數圖象可知：

∴﹣4＜a＜0

（3）解：設切點（x0，x03﹣3x02），切線斜率k=3x02﹣6x0，

則切線方程y﹣（x03﹣3x02）=（3x02﹣6x0）（x﹣x0），

由切線過（0，0），則﹣x03+3x02=﹣x0（3x02﹣6x0），解得：x0=0，或x0= ，

當x0=0，切線k=0，切線方程y=0，

當x0= ，切點（ ，﹣ ），切線k=﹣ ，切線方程y=﹣ x，

直線l的方程y=0或y=﹣ x

【解析】（1）求導f′（x）=3x2+2f'（1）x，f′（1）=3+2f'（1），解得：f′（1）=﹣3，則f′（x）=3x（x﹣2），令f′（x）=0，解得：x=0，x=2，由函數的單調性與導數的關系，即可求得f（x）的極值；（2）由題意可知：y=a與f（x）有三個不同的交點，利用函數的圖象即可求得實數a的取值范圍；（3）設切點（x0 ， x03﹣3x02），斜線斜率k=3x02﹣6x0 ， 求得切線方程，由函數過（0，0），即可求得x0 ， 即可求得直線l的方程．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．