Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為F1，F2，離心率為，設過點F2的直線l被橢圓C截得的線段為MN，當l⊥x軸時，|MN|＝3．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）在x軸上是否存在一點P，使得當l變化時，總有PM與PN所在的直線關于x軸對稱？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，P（4，0）．

【解析】

（1）由，即可求解；（2）轉化為并結合韋達定理即可求解．

（1）由題意得：，，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，

所以橢圓C的標準方程：；

（2）假設存在P（t，0），設直線l的方程：x＝my+1設M（x，y），N（x'，y'），聯立與橢圓的方程整理得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，y+y'，yy'，

由題意得：kPM+kPN＝0，而kPM，kPN，

∴0，∴2myy'+（1﹣t）（y+y'）＝0，即6m（4﹣t）＝0，m≠0，所以t＝4，

即存在定點P（4，0），滿足題中條件．