Question

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為DD₁、DB的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）求證：EF⊥B₁C．

Answer 1

分析：（I）欲證EF∥平面ABC₁D₁，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面ABC₁D₁內一直線平行即可，連接BD₁，在△DD₁B中，E、F分別為D₁D，DB的中點，則EF∥D₁B，而D₁B?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，滿足定理所需條件；
（II）欲證EF⊥B₁C，可先證B₁C⊥面ABC₁D₁，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證B₁C與面ABC₁D₁內兩相交直線垂直，而B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，滿足定理條件，問題即可得證．

解答：證明：（Ⅰ）連接BD₁，在△DD₁B中，E、F分別為D₁D，DB的中點，則

EF∥D1B D1B?平面ABC1D1 EF不包含于平面ABC1D1

?EF∥平面ABC₁D₁；

（Ⅱ）根據題意可知：

B1C⊥AB B1C⊥BC1 AB，B1C?平面ABC1D1 AB∩BC1=B

?

B1C⊥面ABC1D1 BD1?面ABC1D1

?

B1C⊥BD1 EF∥BD1

?EF⊥B₁C．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，以及空間兩直線的位置關系的判定，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．