Question

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點．
（I）求證：EF⊥B₁C；
（II）求二面角E-FC-D的正切值；
（III）求三棱錐F-EDC的體積．

Answer 1

分析：（I）由已知中在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點我們可由B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，得到B₁C⊥平面ABC₁D₁，進而B₁C⊥BD₁，再由中位線定理即可得到EF⊥B₁C；
（II）CF⊥BD，DD₁⊥CF，結合線面垂直的判定定理可得DD₁⊥平面ABCD，進而可得CF⊥平面BDD₁B₁，則∠EFD為二面角E-FC-D的平面角，解三角形EFD，即可求出二面角E-FC-D的正切值；
（III）由V_F-EDC=V_E-FDC，我們求出三棱錐的底面面積和高，代入棱錐的體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（I）由正方體的幾何特征可得：
∵B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，AB∩B₁C=B
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，
∴B₁C⊥BD₁，
又∵EF∥BD₁，
∴EF⊥B₁C．…（6分）
（II）∵點F為DB的中點，且ABCD為正方形，
∴CF⊥BD．
又DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥CF．
而DD₁∩DB=D，
∴CF⊥平面BDD₁B₁．
又EF?平面BDD₁B₁，
∴CF⊥EF，故∠EFD為二面角E-FC-D的平面角．
在Rt△EFD中，DE=1，DF=

2

，
∴tan∠EFD=

DE

DF

=

2

2

．
因而二面角二面角E-FC-D的正切值為

2

2

． …（9分）
（III）∵DE=1，FC=DF=

2

，
∴V_F-EDC=V_E-FDC=

1

3

×DE×

1

2

×DF×FC=

1

3

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，棱錐的體積，線面垂直的性質，（I）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的轉化關系，（II）的關鍵是證得∠EFD為二面角E-FC-D的平面角，（III）的關鍵是由V_F-EDC=V_E-FDC對棱錐進行轉化．