Question

【題目】已知拋物線C：y2=x，過(guò)點(diǎn)M（2，0）作直線l：x=ny+2與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)N是定直線x=﹣2上的任意一點(diǎn)，分別記直線AN，MN，BN的斜率為k1 ， k2 ， k3 ．
（1）求 的值；
（2）試探求k1 ， k2 ， k3之間的關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）

由 可得 y2﹣ny﹣2=0

由韋達(dá)定理可得 y1+y2=n，y1y2=﹣2

∴ =x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=4﹣2=2，

（2）解：當(dāng)n=0時(shí)，A（2， ）、

不妨取N（﹣2，2），則k1= ，k2= ，k3=

易得k1+k3=2k2．

設(shè)N（﹣2，y0），k2=﹣

k1+k3= + = = =﹣ =2k2

∴k1+k3=2k2，k1，k2，k3成等差數(shù)列．

【解析】（1）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 可得y2﹣ny﹣2=0，再由韋達(dá)定理得 的值；（2）三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列，證明k1+k3=2k2即可．