Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD，點M、N分別是棱AB、CD的中點．
（1）證明：BN⊥平面PCD；
（2）在線段PC上是否存在點H，使得MH與平面PCD所成最大角的正切值為 ，若存在，請求出H點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，

∵四邊形ABCD為菱形，∠BCD=∠BAD=60°

∴△BCD為正三角形，∵N為CD中點，所以BN⊥CD

∵PD⊥平面ABCD，BN平面ABCD，∴PD⊥BN，．

又PD平面PCD，CD平面PCD，CD∩PD=D，∴BN⊥平面PCD

（2）解：假設線段PC上存在一點H，連接MH，DH，MD，

MBDN為平行四邊形，∴MD∥BN，

由（1）BN⊥平面PCD∴MD⊥平面PCD，∴∠MHD為MH與平面PCD所成的角

在直角三角形MDH中， ，當DH最小，即DH⊥PC時，∠DHM最大，

，

∴

在Rt△DHC中 ，∴

∴線段PC上存在點H，當 時，使MH與平面PCD所成最大角的正切值為

【解析】（1）連接BD，證明：BN⊥CD，PD⊥BN，即可證明BN⊥平面PCD；（2）假設線段PC上存在一點H，連接MH，DH，MD，可得∠MHD為MH與平面PCD所成的角，在直角三角形MDH中， ，當DH最小，即DH⊥PC時，∠DHM最大，利用條件求出CH，即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．