Question

設數列{a_n}的各項都為正數，其前n項和為S_n，已知對任意n∈N^*，S_n是a和a_n的等差中項．
(1)證明數列{a_n}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
(2)證明＜2.

Answer 1

（1）a_n＝n.（2）見解析

(1)由已知得，2S_n＝＋a_n，且a_n＞0，
當n＝1時，2a₁＝＋a₁，解得a₁＝1(a₁＝0舍去)；
當n≥2時，有2S_n－1＝＋a_n－1.
于是2S_n－2S_n－1＝－＋a_n－a_n－1，
即2a_n＝－＋a_n－a_n－1.
于是－＝a_n＋a_n－1，即(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1)＝a_n＋a_n－1.
因為a_n＋a_n－1＞0，所以a_n－a_n－1＝1(n≥2)．
故數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，
所以數列{a_n}的通項公式為a_n＝n.
(2)證明：因為a_n＝n，則S_n＝，，
所以＝2＝2＜2.