Question

【題目】選修4﹣5：不等式選講
設函數f（x）=|2x﹣4|+|x+2|
（1）求函數y=f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）≥|a+4|﹣|a﹣3|恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于f（x）=|2x﹣4|+|x+2|=

可得當x＜﹣2時，﹣3x+2＞8，當﹣2≤x＜2時，4＜6﹣x≤8，

當x≥2時，3x﹣2≥4，

所以函數的最小值為f（2）=4．

（2）解：若不等式f（x）≥|a+4|﹣|a﹣3|恒成立，則|a+4|﹣|a﹣3|≤f（x）min=4，

又解不等式|a+4|﹣|a﹣3|≤4可解得a≤ ．所以a的取值范圍為a≤

【解析】（1）去絕對值可得f（x）= ，分段求最值可得；（2）問題等價于|a+4|﹣|a﹣3|≤f（x）min=4，解之可得．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．