Question

已知函數f(x)＝－x²＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．
(1)若g(x)＝m有零點，求m的取值范圍；
(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根．

Answer 1

(1) [2e，＋∞)   (2) (－e²＋2e＋1，＋∞)

解：(1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e(x>0)，
當且僅當x＝時取等號．
∴當x＝e時，g(x)有最小值2e.
因此g(x)＝m有零點，只需m≥2e.
∴m∈[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根，
則函數g(x)與f(x)的圖像有兩個不同的交點．
如圖所示，作出函數g(x)＝x＋ (x>0)的大致圖像．

∵f(x)＝－x²＋2ex＋m－1
＝－(x－e)²＋m－1＋e²，
∴其對稱軸為x＝e，f(x)_max＝m－1＋e².
若函數f(x)與g(x)的圖像有兩個交點，
必須有m－1＋e²>2e，即m>－e²＋2e＋1.
即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根，
則m的取值范圍是(－e²＋2e＋1，＋∞)．