Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，側(cè)棱長和底面邊長均為1， 是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證： ∥平面；

（Ⅱ）求與平面 所成角的正弦值；

（Ⅲ）試問線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求 的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ;(3)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，則OD是的一條中位線，則

∥OD ，即可證明 ∥平面

（Ⅱ）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸，垂直于面ABC的直線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出及平面ADC1的一個(gè)法向量一個(gè)法向量，即可求出與平面 所成角的正弦值；

（Ⅲ）假設(shè)點(diǎn)E在線段上，使，不妨設(shè)（），通過 （1） （2）求得不相等，故這樣的點(diǎn)E不存在..

試題解析：（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)O，連結(jié)OD

交于點(diǎn)O O是的中點(diǎn)

又 是的中點(diǎn) OD是的一條中位線

∥OD 又

∥平面

（Ⅱ）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸，垂直于面ABC的直線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（0， ，0），C（，0，0）

在平面ADC1中， （0， ，0），

設(shè)為平面ADC1的一個(gè)法向量，則有，即

不妨令，則， ，所以

又，則

設(shè)與平面所成角為，則==

與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）假設(shè)點(diǎn)E在線段上，使

不妨設(shè)（）

，

在平面ADC1中， （0， ，0），

（1） （2）

由（1）可解得 又（2）可解得,（1）與（2）矛盾，所以這樣的點(diǎn)E不存在.