Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知圓C：，橢圓E：（）的右頂點A在圓C上，右準線與圓C相切.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設過點A的直線l與圓C相交于另一點M，與橢圓E相交于另一點N.當時，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或.

【解析】

（1）圓的方程已知，根據條件列出方程組，解方程即得；（2）設，，顯然直線l的斜率存在，方法一：設直線l的方程為：，將直線方程和橢圓方程聯立，消去，可得，同理直線方程和圓方程聯立，可得，再由可解得，即得；方法二：設直線l的方程為：，與橢圓方程聯立，可得，將其與圓方程聯立，可得，由可解得，即得.

（1）記橢圓E的焦距為（）.右頂點在圓C上，右準線與圓C：相切.解得，

，橢圓方程為：.

（2）法1：設，，

顯然直線l的斜率存在，設直線l的方程為：.

直線方程和橢圓方程聯立，由方程組消去y得，整理得.

由，解得.

直線方程和圓方程聯立，由方程組消去y得，

由，解得.

又，則有.

即，解得，

故直線l的方程為或.

分法2：設，，當直線l與x軸重合時，不符題意.

設直線l的方程為：.由方程組

消去x得，，解得.

由方程組消去x得，，

解得.

又，則有.

即，解得，

故直線l的方程為或.