Question

探究函數(shù)f（x）=x+

4

x

  x∈（0，+∞）的最小值，并確定相應(yīng)的x的值，列表如下，請觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成下列問題：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.102	4.24	4.3	5	5.8	7.57	…

（1）若當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=x+

4

x

時(shí)，在區(qū)間（0，2）上遞減，則在______上遞增；
（2）當(dāng)x=______時(shí)，f（x）=x+

4

x

，x＞0的最小值為______；
（3）試用定義證明f（x）=x+

4

x

，x＞0在區(qū)間上（0，2）遞減；
（4）函數(shù)f（x）=x+

4

x

，x＜0有最值嗎？是最大值還是最小值？此時(shí)x為何值？
解題說明：（1）（2）兩題的結(jié)果直接填寫在答題卷中橫線上；（4）題直接回答，不需證明．

Answer 1

（1）若函數(shù)f（x）=x+

4

x

  x∈（0，+∞）時(shí)，在區(qū)間（0，2）上遞減，則在（2，+∞） 上遞增；
（2）當(dāng)x=2 時(shí)，f（x）=x+

4

x

  x∈（0，+∞）的最小值為4；---（4分）
（3）設(shè)任意的x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)(

x1x2-4

x1x2

)-----（10分）
∵x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，∴0＜x₁x₂＜4，x₁-x₂＜0，∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0f（x₁）＞f（x₂），即
∴f（x）=x+

4

x

  在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減---------------（12分）
（4）函數(shù)f（x）=x+

4

x

，x＜0有最大值，當(dāng)x=-2時(shí)，最大值是-4----（14分）